miércoles, 21 de mayo de 2008

metodo are-momento

ANALISIS DE VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

1.1. DEFINICIÓN.

Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su eje longitudinal, en la que el número de reacciones en los soportes superan al número de ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esto es: el número de incógnitas es mayor que:


La figura 1, muestra una viga de este tipo con un extremo simple “A” y el otro empotrado “B” bajo una carga puntual P.

P
a
b
A
B
Fig. 1. Viga apoyada-empotrada.




A continuación se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En el soporte “A” existe sólo reacción vertical puesto que el rodillo no impide el desplazamiento horizontal. En el empotramiento en “B” hay dos reacciones dado que este soporte no permite ni desplazamientos ni rotaciones.

P
VA
VB
MB







Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes VA y VB y el momento flexionante MB y sólo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio; ÓM y ÓFy, la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática pues no es posible conocer las tres reacciones con solo dos ecuaciones. (Hay más incógnitas que ecuaciones).


Otro tipo de viga hiperestática es aquella que tiene más de dos soportes, y que se denomina Viga Continua, como la que se muestra en la figura 2.





P
P
w
L1
L2
L3
A
B
C
D
Fig. 2. Viga continua









Este caso corresponde a una barra mucho más compleja de analizar puesto que ahora existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes verticales y el momento flexionante en el empotramiento ubicado en “A”.


P
P
w
MA
VA
VB
VC
VD







Para la solución de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio estático, un camino a seguir consiste en hacer el análisis de las deformaciones angulares o rotaciones de los nodos cuando las barras se flexionan (pandean), bajo el efecto de las cargas aplicadas. Este análisis se plantea más adelante.

1.2. INDETERMINACIÓN ESTATICA.

Se define como el número de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio estático. Se puede decir que es la diferencia entre el número de incógnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio estático. Por ejemplo la viga de la figura 1 tiene tres reacciones desconocidas y solo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada en grado 1:

Número de incógnitas = NI = 3
Ecuaciones de equilibrio = EE = 2
Grado de indeterminación = GI = NI – EE = 3 – 2 = 1


Viga de la figura 2:

NI = Reacciones verticales y momento en el empotramiento = 5
EE = Equil. vertical y suma de momentos = 2
GI = 5 – 2 = 3

En ambos casos los GI representan el número de ecuaciones adicionales para su solución.

1.3. SOLUCION DE VIGAS HIPERESTATICAS.

Se analizan vigas estáticamente indetermindas con objeto de conocer las reacciones externas e internas en los soportes, así como las deformaciones angulares y lineales que ocuren a través de su longitud cuando se les somete a carga axterna. Las deformaciones angulares son las rotaciones o pendientes que se miden mediante una tangente trazada a la curva elástica (Diagrama de deformación) y las lineales son los desplazamientos verticales que se miden entre el eje original de la viga y el eje cuando la barra se flexiona. La figura 3 muestra esta condición.


Eje original no deformado
P
æ
ä
Curva elástica de deformación
Tangente
Fig. 3. Viga deformada por flexión








P = Carga aplicada.
æ = Rotación o pendiente.
ä = Deformación lineal o flecha.


1.3.1. TEOREMAS DE OTTO MOHR.

Es un método semigráfico ideado por Christian Otto Mohr (1835-1918) y que representa una alternativa importante para calcular pendientes y flechas en puntos específicos de una viga. El procedimiento se conoce también como Método del Area de Momentos y consiste en establecer de manera independiente la variación de la pendiente y de la flecha en los puntos extremos de un intervalo cualquiera, generalmente definido por los apoyos. En este intervalo intervienen las áreas de los diagramas de momentos y el momento de tales áreas. Es recomendable utilizar las áreas de los diagramas de momentos por partes ya que estos facilitan el cálculo del área así como de su centro de gravedad. El método consta de dos teoremas, a saber:

Primer Teorema de Mohr. “La variación o incremento de la pendiente (θAB) entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualquiera A y B es igual al producto 1/EI por el área del diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos”. En la figura 9) se indica esta condición.

P
L
A
B
ΘAB
Viga con carga cualquiera.
Tangentes por A y B.
Cambio de pendiente θAB.
M
Diagrama de momentos cualquiera..
Fig. 9). Viga simple con carga cualquiera.





















Donde:

ΘAB = Cambio de pendiente entre las tangentes a la curva elásica.
AAB = Area del diagrama de momentos entre A y B.
EI = Rigidez a la flexión.


Segundo Teorema de Mohr. “La desviación de un punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular al eje inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI por el momento respecto de B del área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A y B”. La figura 10) muestra esdta condición.

P
L
A
B
Viga con carga cualquiera.
M
Diagrama de momentos cualquiera y centro de gravedad respecto al punto B.
Fig. 10). Viga simple con carga cualquiera.
δBA
●cg
x
























Donde:

δBA = Desplazamiento vertical en B trazado perpendicularmente al eje original
de la viga hasta intersectar con la tangente por A.
ABA = Area del diagrama de momentos entre los puntos B y A.
X = cg = Centro de gravedad del diagrama de momentos medidos desde B.




PROCEDIMIENTO DE ANALISIS

El siguiente procedimiento puede usarse para determinar la pendiente y el desplazamiento en un punto específico de un a viga o flecha usando el teorema área de momentos

DIAGRAMA M/EI . determine las reacciones en los soportes y dibuje el diagrama M/EI de la viga. Si la viga esta cargada con fuerzas concentradas, el diagrama consistirá en una serie de segmentos de líneas rectas


Problema 1). Calcular el momento en el empotramiento para la viga de la figura 11). Determinar también las reacciones verticales.

7.00 m
800 kg./m
A
B





Incognitas en la viga.
800 kg./m
MB
VA
VB






800 kg./m
MB
+
2800
2800
MB/7
MB/7
19600
19600
MB
7..00
7.00
x
xDiagrama de momentos por partes. Se obtienen dos vigas equivalentes simplemente apoyadas; una con la carga de 800 kg/m y la otra con MB.











El objetivo es obtener el momento MB y puesto que la viga está empotrada en B la pendiente es cero y una tangente por ese punto es horizontal y entonces en el punto A el desplazamiento vertical es tambien cero. La ecuación que se requiere se obtiene sumando momentos en A para las áreas de los diagramas de momento, es decir es el producto de las áreas y el centro de gravedad de cada una medido desde A. Las áreas arriba del eje “x” se toman positivas.
Se recuerdan las áreas y centroides de algunas figuras geométricas.


cg
M
2L/3
L/3
L
cg

x
A = ML/(n + 1)

X = L/(n + 2)

n = grado de la curva


M














MB = 2450.00 kg.m

Reacciones verticales.
800 kg./m
2450
2850
2750
VB = 2750.00 kg.

VA = 800(7) – 2750 = 2850.00 kg.


Prtoblema 2. Calcular los momentos flexionantes para la viga con ambos extremos empotrados de la figura . Tomar EI constante.
7.00M
1200 kg/m
1
2
Fig. 13






1200 kg/m
M1
V1
V2Incógnitas en la viga.
M2





Digrama de momentos para cada acción actuando por separado. El momento máximo para la carga uniforme es wL2/8 = 7350 kg.m. Estas gráficas y momentos corresponden a vigas simplemente apoyadas.

1200 kg/m
7350
M1
M1
M2
M2






Como ambos extremos están empotrados, las pendientes en esos puntos son cero, y por tanto, una tangente trazadas por estos extremos son horizontales y entonces los desplazamientos o desviaciones verticales son tambien cero.







Resolviendo las ecuaciones 1) y 2):

M1 = M2 = 7000.00 kg.m

Fin del problema.
Problema 3. Calcular los momentos flexionantes en los extremos de la barra de la figura . Ambos extremos están empotrados. P=2000 N

P
L/2
L/2
1
2
Fig. 14






Momentos desconocidos.

P
M1
M2
V2
V1





Diagramas de momentos para vigas simplemente apoyadas. El momento máximo para la carga puntual es (PL/4).
P
L/2
L/2
PL/4
M1
M1
M2
M2








Si ambos extremos están empotrados las desviaciones verticales respecto a tangentes trazadas por ellos, son cero.




Puesto que M1 y M2 son iguales debido a la simetría, la solución de la ecuación anterior arroja los siguientes resultados:



Como L=7 y P=2000N


Fin del problema.



Problema 4. Calcular el momento flexionante en el extremo empotrado de la barra de la figura.
200 kg/m
4.00
4.00
1
2
Fig.15 Viga empotrada-apoyada








Incógnitas en la viga.

200 kg/m
M1
V1
V2






Diagramas de momentos para vigas simplemente apoyadas.

200
4.00
4.00
M1
8.00
4800
1600
4800
M1
1600
3200
4.00











La desviación vertical en el apoyo “2” es cero debido a que no hay pendiente en el empotramiento.



M1 = 900.00 kg.m

Verificación con fórmula.



Fin del propblema.

Problema 5. Calcular los momento flexionantes en los extremo empotrados de la barra de la figura . Calcular también las reacciones verticales y trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante.

500
1500
3.00
5.00
2.
2.
1.
Fig. 16. Viga con ambos extremos .empotrados.







Incógnitas en la viga.

500
1500
M1
M2
V1
V2





Diagramas de momentos para las vigas equivalentes simplemente apoyadas.

500
1500
3
5
2
3500
3000
6500
M1
M1
M2
M2
10.00
10.00











Para ambos extremos la desviación vertical respecto a la tangente por cualquiera de ellos es cero.


94,750.00 – 16.666 M1 – 33.333 M2 = 0 Ec. 1).



77,750.00 – 33.333 M1 - 16.666 M2 = 0 Ec. 2).



Resolviendo las ecuaciones 1) y 2):

M1 = 1,215.00 kg.m
P
M1
M2
a
bM2 = 2,235.00 kg.m

Verificación con fórmula.





Reacciones verticales. Conocidos los momentos de empotramiento pueden calcularse por equilibrio estático.

V1 = 548.00 kg.
V2 = 1452.00 kg.

500
1500
1215
2235
548
1452
548
48
1452
1215
2235
429
669
Diagrama de Cortante
Diagrama de momentos